Orden de las operaciones
Las operaciones se deben hacer en orden:
- Desplazamiento
- Reflexión o escalamiento
Desplazamiento
Desplazamiento a la derecha
\( x(t - a) \)
Desplazamiento a la izquierda
\( x(t + a) \)
Reflexión
Reflexión en el tiempo
\( x(-t) \)
La señal se "refleja" sobre el eje vertical. Si la señal original estaba a la derecha (tiempo positivo), la reflexión aparecerá a la izquierda (tiempo negativo).
Impulso unitario
Producto de una función por un impulso
El resultado es la función evaluada en el punto donde está el impulso.
\[
x(t) \delta(t) = x(0) \delta(t)
\]
\[
x(t) \cdot \delta(t - t_0) = x(t_0) \delta(t - t_0)
\]
Propiedad de selectividad o muestreo (sifting property)
Integral de un impulso
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1
\]
Integral del impulso por una función
¿Cuándo usarla?
Cuando hay que resolver una integral suelta (no una convolución) con \(\delta(t)\) sin desplazar, y el resultado buscado es un número.
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) x(t) dt = x(0)
\]
Demostración
La función pasa a ser una constante, por lo tanto, se puede quitar de la integral.
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) x(t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) x(0) dt
\]
\[
= x(0)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt
\]
\[
= x(0) \cdot 1 = x(0)
\]
\(x\) queda evaluada en \(0\) porque \(\delta(t)\) vale \(0\) para todo \(t \neq 0\): el producto \(x(t)\delta(t)\) se anula en todos lados salvo donde se anula el argumento de la delta, es decir en \(t=0\). En general, \(x\) siempre se evalúa en el punto donde se anula el argumento de la delta (por eso en las variantes desplazadas de abajo el punto cambia).
Integral del impulso desplazado \(\delta(t - t_0)\) por una función
¿Cuándo usarla?
Igual que la anterior, pero con el impulso desplazado a la derecha dentro de una integral suelta; el resultado es un número, evaluado en \(t_0\).
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) x(t) dt = x(t_0)
\]
Demostración
El argumento de la delta se anula en \(t = t_0\), así que la función se evalua ahí.
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) x(t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) x(t_0) dt
\]
\[
= x(t_0)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) dt
\]
\[
= x(t_0) \cdot 1 = x(t_0)
\]
Integral del impulso desplazado \(\delta(t + t_0)\) por una función
¿Cuándo usarla?
Igual que las anteriores, pero con el impulso desplazado a la izquierda dentro de una integral suelta; el resultado es un número, evaluado en \(-t_0\).
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t + t_0) x(t) dt = x(-t_0)
\]
Demostración
El argumento de la delta se anula en \(t = -t_0\), así que la función se evalua ahí.
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t + t_0) x(t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t + t_0) x(-t_0) dt
\]
\[
= x(-t_0)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t + t_0) dt
\]
\[
= x(-t_0) \cdot 1 = x(-t_0)
\]
Convolución con un impulso
¿Cuándo usarla?
Cuando estás calculando la salida \(y(t)\) de un sistema LTI (o cualquier convolución) y una de las dos señales es un impulso desplazado. El resultado es una señal, función de \(t\), no un número.
Es la misma propiedad de selectividad de arriba, pero expresada a través de la convolución en vez de como integral aislada. La diferencia es que el resultado ya no es un número, sino una función de \(t\):
\[
x(t) * \delta(t - t_0) = x(t - t_0)
\]
\[
x(t) * \delta(t + t_0) = x(t + t_0)
\]
Por qué es la misma propiedad
Escribiendo la convolución de forma explícita, con \(\tau\) como variable de integración y \(t\) como variable libre:
\[
x(t) * \delta(t - t_0) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\, \delta\big((t - t_0) - \tau\big)\, d\tau
\]
Esta integral tiene la misma forma que la propiedad de selectividad de arriba, solo que la variable de integración es \(\tau\) en lugar de \(t\), y el "punto donde está el impulso" ya no es un \(t_0\) fijo, sino \(t - t_0\) (que depende de la variable libre \(t\)):
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta\big(\tau - (t - t_0)\big)\, x(\tau)\, d\tau = x(t - t_0)
\]
Es decir: la regla "la función se evalúa en el punto donde está el impulso" no cambia. Lo único que cambia es que en la integral aislada ese punto es fijo (da un número), mientras que en la convolución ese punto se mueve junto con \(t\) (da una función).
¿Deberían dar el mismo resultado?
No, porque son dos preguntas distintas. La integral aislada pregunta "¿cuánto vale esta integral concreta?" y da un número. La convolución pregunta "¿cuál es el valor de la señal resultante en cada instante \(t\)?" y da una función. No se contradicen: cada evaluación puntual de la convolución (fijar un \(t\) particular) es exactamente una integral aislada como la de arriba. La convolución simplemente repite ese cálculo para todos los \(t\) a la vez.
Ejemplo
Si un sistema LTI con respuesta al impulso \(h(t)\) recibe la entrada \(x(t) = -10\,\delta(t+5)\), la salida es
\[
y(t) = h(t) * x(t) = h(t) * \big(-10\,\delta(t+5)\big) = -10\,h(t+5)
\]
usando la propiedad de arriba con \(t_0 = 5\): convolucionar con el impulso desplazado simplemente desplaza y escala la otra señal, no la evalúa en un punto fijo.