Orden de las operaciones
Las operaciones se deben hacer en orden:
- Desplazamiento
- Reflexión o escalamiento
Desplazamiento
Desplazamiento a la derecha
\( x(t - a) \)
Desplazamiento a la izquierda
\( x(t + a) \)
Reflexión
Reflexión en el tiempo
\( x(-t) \)
La señal se "refleja" sobre el eje vertical. Si la señal original estaba a la derecha (tiempo positivo), la reflexión aparecerá a la izquierda (tiempo negativo).
Impulso unitario
Producto de una función por un impulso
El resultado es la función evaluada en el punto donde está el impulso.
\[
x(t) \delta(t) = x(0) \delta(t)
\]
\[
x(t) \cdot \delta(t - t_0) = x(t_0) \delta(t - t_0)
\]
Propiedad de selectividad o muestreo (sifting property)
Integral de un impulso
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1
\]
Integral del impulso por una función
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) x(t) dt
\]
La función pasa a ser una constante, por lo tanto, se puede quitar de la integral.
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) x(0) dt
\]
\[
x(0)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt
\]
\[
x(0)1 = x(0)
\]
Integral del impulso desplazado \(\delta(t - t_0)\) por una función
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) x(t) dt
\]
La función se evalua en el punto donde está el impulso, que es \(t_0\).
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) x(t_0) dt
\]
\[
x(t_0)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) dt
\]
\[
x(t_0)1 = x(t_0)
\]
Integral del impulso desplazado \(\delta(t + t_0)\) por una función
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t + t_0) x(t) dt
\]
La función se evalua en el punto donde está el impulso, que es \(-t_0\).
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t + t_0) x(-t_0) dt
\]
\[
x(-t_0)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t + t_0) dt
\]
\[
x(-t_0)1 = x(-t_0)
\]